Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Решение систем линейных алгебраических уравнений - одна из главных задач линейной алгебры, поэтому важно знать этапы решения данного рода систем, о которых мы поговорим далее в статье.
Так же читайте нашу статью "Решить линейное уравнение онлайн"
Рассмотрим решение системы 3х уравнений следующего вида:
\[\left\{\begin{matrix} 2x_1+x_2 & = & 5\\ x_1+x_2 & = & -1\\ 4x_1+x_2 & = & 2 \end{matrix}\right.\]
Определим ранг основной матрицы:
\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1\\ 4 & -1 \end{pmatrix}\]
Поскольку ранг равен 2, минор второго порядка отличен от нуля:
\[\begin {vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1\ end{vmatrix}=2(-1)-1 \cdot 1 = -3\]
Определим ранг расширенной матрицы:
\[T = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \end{pmatrix}\]
Он также равен 2, поскольку минор третьего порядка равен "0", а минор 2 порядка не "0":
\[\begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 2\cdot(-1)\cdot2+1\cdot(-1)\cdot4+4 \cdot 1\cdot(-1)-4\cdot(-1)\cdot4-1 \cdot 1 \cdot 2-2\cdot(-1)\cdot(-1)=0\]
Оперируя теоремой Кронекера - Капелли можно утверждать совместность исходной системы, поскольку:
\[Rank(A)=Rank(T)=2.\]
За базисный минор возьмем:
\[\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)-1 \cdot 1 = -3\]
Теперь уравнение системы не принимает участие в создании базисного минора, поэтому уберем его из системы:
\[\left\{\begin{matrix} 2x_1 & + & x_2 & = & 4\\ x_1 & - & x_2 & = & -1\\ 4x_1 & - & x_2 & = & 2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x_1 & + & x_2 & = & 4\\ x_1 & - & x_2 & = & -1 \end{matrix}\right.\]
Это обычная система линейных алгебраических уравнений, которую можно решить методом Крамера:
\[\Delta = \begin{vmatrix} 2&1\\ 1&-1 \end{vmatrix}=2\cdot(-1)-1\cdot1=-3\] \[\Delta x_1= \begin{vmatrix} 4&1\\ -1&-1 \end{vmatrix}=4\cdot(-1)-1\cdot(-1)=-3\]
\[\Delta x_2= \begin{vmatrix} 2&4\\ 1&-1 \end{vmatrix}=2\cdot(-1)-4\cdot1\] \[x_1=\frac{\Delta x_1}{\Delta}=\frac{-3}{-3}=1, x_1=\frac{\Delta x_2}{\Delta}=\frac{-6}{-3}=2\]
Получим ответ:
\[x_1 = 1, x_2 = 2\]
Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.
Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!