Решение Диофантова уравнения по математике

Диофант Александрийский — древнегреческий математик, который жил еще в III веке н. э. О нем говорят как об «отце алгебры». Это автор «Арифметики» — книги, которая посвящена нахождению положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Диофант - первый греческий математик, который рассматривал дроби наравне с другими числами. Он первым среди античных учёных предложил развитую математическую символику, которая позволяла формулировать полученные им результаты в достаточно компактном виде. В честь Диофанта назван кратер на видимой стороне Луны.

Диофантово уравнение представляет собой алгебраическое уравнение с налагаемым дополнительным условием, состоящем в том, что все его решения должны представлять собой целые числа. В большинстве случаев данного рода уравнения решаются довольно сложно. Теорема Ферма - это прекрасный пример диофантового уравнения, которое так и не решено спустя 350 лет.

Так же читайте нашу статью "Решить систему уравнений для действительных значений онлайн"

Допустим, нам необходимо решить в целых числах \[(x,y)\] уравнение:

\[5x - 8y = 19 (1)\]

Чтобы решить данного вида задание применим алгоритм Евклида, которое говорит, что для любых двух натуральных чисел \[a, b,\] таких, что \[Н.О.Д.(а,b) = 1\] существуют целые числа \[x, y\] такие, что \[ах + bу = 1.\]

Этапы решения:

1. Найдем решение уравнения \[5m - 8n = 1,\] применив алгоритм Евклида.

2. Найдем частное решение уравнения (1) по правилу 2.

3. Запишем общее решение данного уравнения (1).

1. Найдем представление: \[1 = 5m - 8n.\] Для решения применим алгоритм Евклида.

\[8 = 5^1 + 3\]

\[5 = 3^1 + 2\]

\[3 = 2^1 + 1\]

Из этого равенства выразим

\[ 1 = 3 - 2^1=3-(5-3)^1=3-5^1+3\cdot 1=3^2-5\cdot1=(8-5^1)^2 -5^1=8^2-5\cdot2-5^1=5^x(-3)-8\cdot(-2) \]

Итак, \[m = -3, n = -2.\]

2. Частное решение уравнения \[(1): x_о = 19m; y_о =19n.\]

Отсюда получим: \[ x_о =19^x(-3)=57; у_о =19^x(-2)=-38 \]

Пара (-57; -38) - частное решение (1).

3.Общее решение уравнения (1):

\[\left\{\begin{matrix} x=-57+8n\\ y=-3+n, n \in Z \end{matrix}\right.\]

Где взять решение диофантова уравнения?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.