Как решить комплексное уравнение по математике

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Для наглядности решим такое задание:

Вычислить \[ (z_1\cdot z_2)^{10},\] если \[z_1=-1+\sqrt 3i, z_2=\frac{1}{4}(\cos 30^{\circ}+i\sin30^{\circ}).\]

Так же читайте нашу статью "Решить однородную систему уравнений онлайн решателем"

В первую очередь обратим внимание на то, что одно число представлено в алгебраической, другое - в тригонометрической форме. Его необходимо упростить и привести к следующему виду

\[ z_2 = \frac{1}{4} (\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}).\]

Выражение \[z_1\cdot z_2^10\] говорит о том, что в первую очередь делаем умножение и возведение в 10-ю степень по формуле Муавра. Эта формула сформулирована для тригонометрической формы комплексного числа. Получим:

\[\begin{vmatrix} z_1 \end{vmatrix}=\sqrt {(-1)^2+(\sqrt 3)^2}=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac{\sqrt 3}{-1}=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\]

\[z_1=2(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})\]

Придерживаясь правил умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, сделаем следующее:

если

\[z_1=\begin{vmatrix} z_1 \end{vmatrix}\cdot(\cos \varphi _1+i\sin\varphi _1), z_2=\begin{vmatrix} z_2 \end{vmatrix}\cdot(\cos \varphi _2+i\sin\varphi _2),\]

то

\[z_1 \cdot z_2=\begin{vmatrix} z_1 \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix} z_2 \end{vmatrix}\cdot (\cos (\varphi _1+\varphi _2)+i\sin(\varphi _1+\varphi _2))\]

В нашем случае:

\[z_1 \cdot z_2= 2 \cdot\frac{1}{4}\cdot(\cos (\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{6})+i\sin(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{6}))=\frac{1}{2}\cdot(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6})\]

Далее применяем формулу Муавра \[ z^n=\begin{vmatrix} z \end{vmatrix}^n\cdot(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi),\] которая является следствием указанного выше правила:

\[(z_1+z_2)^{10}=(\frac{1}{2})^{10}\cdot(\cos (10\cdot\frac{5\pi}{6})+i\sin\cdot\frac{5\pi}{6}))=\frac{1}{2^{10}}\cdot\cos \frac{25\pi}{3}+i\sin\frac{25\pi}{3}.\]

Делая дробь \[\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}\] правильной, приходим к выводу, что можно "скрутить" 4 оборота \[(8\pi рад.):\]

\[ (z_1+z_2)^{10}=\frac{1}{2^{10}}\cdot(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\]

Ответ: \[(z_1+z_2)^{10}=\frac{1}{2^{10}}\cdot(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\]

Данное уравнение можно решить еще одним способом, который сводится к тому, чтобы привести 2 -е число в алгебраическую форму, после чего выполнить умножение в алгебраической форме, перевести результат в тригонометрическую форму и применить формулу Муавра:

\[z_2=\frac{1}{4} (\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})= \frac{1}{4}(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2})=\frac{\sqrt3}{8}+\frac{i}{8}.\]

Где можно решить систему уравнений с комплексными числами онлайн?

Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.