Решить уравнение с разделенными переменными по математике

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Дифференциальные уравнения пригодятся вам для изучения информатики, компьютерных технологий, физики.

Дифференциальное уравнение $$y' = ?(x,y)$$ называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно имеет следующий вид:

$$y' = \alpha(x)\beta(y)$$

Кроме того, данного рода уравнения можно представить в следующем виде:

$$y' - \alpha(x)\beta(y) = 0;$$

$$dy - \alpha(x)\beta(y)dx = 0;$$

$$\frac{dy}{ \beta (y)} - ?(x)dx = 0$$ при $$\beta (y) \ne 0$$

Перейдем к новым обозначениям

$$\alpha (x) = - X(x);$$

$$\frac{1}{\beta (y)} = Y(y)$$

Получаем:

$$X(x)dx + Y(y)dy = 0,$$

$$\int X(x)dx + \int Y(y)dy = С$$

Найдя вышеописанные интегралы, получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Так же читайте нашу статью "Решить уравнение с корнем онлайн решателем"

Если имеются начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, то есть конечное решение.

Допустим, нам дано уравнения следующего вида:

$$yy'=\frac{-2x}{\cos y}$$

Необходимо найти общее решение дифференциального уравнения:

$$y \cos y -\frac{dy}{dx} = -2x$$

$$y \cos y\cdot dy = -2xdx$$

$$\int \cos ydy = -2 \int xdx$$

$$\int \cos ydy = \left\{\begin{matrix} u=y;dv = \cos ydy\\ du=dy;v = \sin y\\ \end{matrix}\right.= y \sin y - \int \sin ydy = y \sin y + \cos y$$

$$y \sin y + \cos y = - x^2 + C$$

$$y \sin y + \cos y + C = 0$$

Это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, поскольку искомая функция не выражена через независимую переменную.

Давайте выполним проверку правильности полученного результата, продифференцируя его по переменной $$х.$$

$$y' \sin y + yy' \cos y - y' \sin y + 2x = 0$$

$$yy' = - \frac{2x}{ \cos y}$$

Это говорит о том, что полученный нами ответ правильный.

Где можно решить уравнения с разделяющимися переменными онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто вdести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.