Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Дифференциальные уравнения пригодятся вам для изучения информатики, компьютерных технологий, физики.
\[y' = \alpha(x)\beta(y)\]
Кроме того, данного рода уравнения можно представить в следующем виде:
\[y' - \alpha(x)\beta(y) = 0; \]
\[dy - \alpha(x)\beta(y)dx = 0; \]
\[\frac{dy}{ \beta (y)} - ?(x)dx = 0 \] при \[\beta (y) \ne 0\]
Перейдем к новым обозначениям
\[\alpha (x) = - X(x); \]
\[\frac{1}{\beta (y)} = Y(y) \]
Получаем:
\[X(x)dx + Y(y)dy = 0, \]
\[\int X(x)dx + \int Y(y)dy = С\]
Найдя вышеописанные интегралы, получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Так же читайте нашу статью "Решить уравнение с корнем онлайн решателем"
Если имеются начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, то есть конечное решение.
Допустим, нам дано уравнения следующего вида:
\[yy'=\frac{-2x}{\cos y}\]
Необходимо найти общее решение дифференциального уравнения:
\[y \cos y -\frac{dy}{dx} = -2x\]
\[y \cos y\cdot dy = -2xdx\]
\[\int \cos ydy = -2 \int xdx\]
\[\int \cos ydy = \left\{\begin{matrix} u=y;dv = \cos ydy\\ du=dy;v = \sin y\\ \end{matrix}\right.= y \sin y - \int \sin ydy = y \sin y + \cos y\]
\[y \sin y + \cos y = - x^2 + C\]
\[y \sin y + \cos y + C = 0\]
Это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, поскольку искомая функция не выражена через независимую переменную.
Давайте выполним проверку правильности полученного результата, продифференцируя его по переменной \[х.\]
\[y' \sin y + yy' \cos y - y' \sin y + 2x = 0\]
\[yy' = - \frac{2x}{ \cos y} \]
Это говорит о том, что полученный нами ответ правильный.
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто вdести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.
Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!