Как найти сумму, произведение и частное дробей любого вида

В математике для обозначения части целого или целого и его части используется понятие дроби. По форме записи выделяют обыкновенные дроби и десятичные.

Обыкновенные дроби

Обыкновенная дробь – это форма записи рационального числа в виде \(\frac{m}{n}\), где m – натуральное число, n – рациональное. Здесь m является числителем, а n – знаменателем. Известно, что любое натуральное число можно представить в виде дроби, то есть как частное от деления одного натурального числа на другое.

Примеры таких дробей: \(\frac{7}{10}\), \(\frac{187}{3}\), \(\frac{2}{2}\)

В свою очередь, обыкновенные дроби можно разделить на правильные и неправильные. В правильных дробях числитель меньше знаменателя, а также все выражение меньше 1: \(\frac{5}{8}\), \(\frac{3}{10}\), \(\frac{145}{146}\)

Неправильная дробь больше или равна 1, а ее числитель больше знаменателя или равен ему: \(\frac{13}{12}\), \(\frac{147}{4}\), \(\frac{11}{11}\)

Также любую неправильную дробь можно представить в виде суммы целой и дробной частей, при этом дробная часть либо правильная дробь, либо равна 0. Такое представление называют смешанным числом. Чтобы получить его, нужно выполнить следующий алгоритм:

1. Разделим числитель дроби на ее знаменатель и получим остаток, если он есть.
2. Полученное частное – это целая часть смешанного числа, остаток – это числитель дробной части, а знаменатель дробной части совпадает со знаменателем неправильной дроби.

Пусть дана дробь \(\frac{35}{4}\). Разделив числитель на знаменатель, получим: \(35=8\cdot4+3\). Здесь 8 - целая часть смешанного числа, 3 - числитель дробной части, а 4 - ее знаменатель. Получим: \(8\frac{3}{4}\)

Основное свойство обыкновенных дробей

Основное свойство дроби заключается в том, что при домножении числителя и знаменателя на одно и то же число получается равная первоначальной дробь.

\[\frac{3}{7}=\frac{3\cdot4}{4\cdot4}=\frac{12}{16}\]

Как следствие, можно сокращать дроби, то есть делить числитель и знаменатель на общий делитель с получением новой дроби, имеющей такое же значение, как и первоначальная.

\[\frac{76}{14}=\frac{38\cdot2}{7\cdot2}=\frac{38}{7}\]

Исходя из этого, существуют несократимые дроби, у которых числитель и знаменатель – взаимно простые числа: \(\frac{17}{3}\), \(\frac{25}{46}\), \(\frac{3}{10}\)

Десятичные дроби

Десятичные дроби – это способ записи действительного числа в виде \(\frac{p}{10^n}\), где p –целое, n – натуральное.

\[0,5,~3,14\dots,~0,124(33)\]

Здесь целая часть – это числа до запятой, дробная – числа после запятой.

Известно, что любую обыкновенную дробь, являющуюся в свою очередь рациональным числом, можно преобразовать в десятичную:

\[\frac{37}{4}=\frac{37\cdot25}{4\cdot25}=9,25\]

Десятичные дроби делятся на:

• Конечные, то есть имеющие конечное число знаков после запятой. Существует теорема, утверждающая, что действительное число можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда его можно представить как несократимую обыкновенную дробь, знаменатель может иметь в своем разложении на простые числа только 2 и 5: \(9,25,~0,12567,~35,1\)
• Бесконечные десятичные дроби имеют бесконечное число знаков после запятой. Например, число \(pi=3,14159\dots\).
• Периодические десятичные дроби относятся к бесконечным, но они среди знаков после запятой имеют последовательность цифр, повторяющуюся с определенного знака:\(9,28(5),~0,55(67),~35,(1)\). Здесь период – это повторяющаяся группа цифр (или одна повторяющаяся цифра).

Действия с дробями

Определены действия сложения, вычитания, умножения и деления дробей. Также на множестве действительных и рациональных чисел существует отношение порядка, поэтому дроби можно сравнивать между собой.

Сравнение дробей

Известно, что если обыкновенные дроби имеют одинаковые знаменатели, большая дробь та, у которой больший числитель.

\[\frac{7}{6}>\frac{1}{6}\]

Если же у дробей различные знаменатели, то сначала они приводятся к общему знаменателю, а затем точно так же сравниваются по числителям.

\[\frac{3}{7}<\frac{4}{5}\]

В десятичных дробях сначала сравниваются целые части – дробь, имеющая большую целую часть, больше.

\[8,24<9,35(6)\]

Если же целые части равные, то идет аналогичное сравнение по знакам после запятой.

\[17,6794>17,67\]

Сложение дробей

Для обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями сложение выполняется по следующему правилу:

\[\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}\]

Например:

\[\frac{1}{13}+\frac{10}{13}=\frac{1+10}{13}=\frac{11}{13}\]

Кроме того:

\[\frac{a}{b}+0=0+\frac{a}{b}=\frac{a}{b}\]

Дроби с разными знаменателями сначала приводят к общему знаменателю, а затем складывают:

\[\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d+c\cdot b}{bd}\]

К примеру:

\[\frac{6}{7}+\frac{1}{2}=\frac{6\cdot2+1\cdot7}{7\cdot2}=\frac{19}{14}=1\frac{5}{14}\]

При сложении смешанных чисел сначала складываются их целые части, а затем дробные по правилам сложения дробей.

\[1\frac{3}{5}+2\frac{1}{5}=3\frac{4}{5}\]

При действии с десятичными дробями в начале складываются целые части, а потом поразрядно дробные, начиная с младшего разряда.

\[245,319+12,24=257,559\]

Так как дроби – это всего лишь представления действительных и рациональных чисел, на них распространяются свойства ассоциативности и коммутативности.

Умножение дробей

При умножении обыкновенных дробей в числитель полученной дроби записывается произведение числителей множителей, а в знаменатель – произведение знаменателей. То есть:

\[\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\]

Например:

\[\frac{4}{27}\cdot\frac{9}{16}=\frac{4\cdot9}{27\cdot16}=\frac{1}{12}\]

Кроме того:

\[\frac{a}{b}\cdot n=n\cdot\frac{a}{b}=\frac{a\cdot n}{b}\]

В частности:

\[\frac{a}{b}\cdot0=0\cdot\frac{a}{b}=0\]

Если перемножаются смешанные числа, то сначала они переводятся в неправильные дроби, а затем действует первое правило:

\[5\frac{2}{7}\cdot6\frac{1}{8}=\frac{37}{7}\cdot\frac{49}{8}=\frac{37\cdot49}{7\cdot8}=\frac{259}{8}=32\frac{3}{8}\]

При умножении десятичных дробей выполняют данное действие, не обращая внимания на наличие запятых, а затем в полученном числе ставят запятую, отделяя ей столько чисел справа, сколько имеется знаков после запятой в обоих множителях вместе.

\[3,4\cdot18,2=61,88\]

Также выполняются свойства коммутативности, ассоциативности.

Деление дробей

При делении одной обыкновенной дроби на другую вводится понятие взаимно обратных дробей, то есть дробей, дающих в произведении 1.

Для проведения действия деления необходимо делимое домножить на дробь, взаимно обратную делителю, по правилу умножения.

\[\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}\]

Например:

\[\frac{3}{8}:\frac{9}{16}=\frac{3}{8}\cdot\frac{16}{9}=\frac{3\cdot16}{8\cdot9}=\frac{2}{3}\]

Кроме того:

\[\frac{a}{b}:n=\frac{a}{b\cdot n}\]

При делении двух смешанных чисел они сначала приводятся к виду неправильной дроби, а затем только делятся одно на другое.

\[3\frac{2}{3}:1\frac{1}{6}=\frac{11}{3}:\frac{7}{6}=\frac{11}{3}\cdot\frac{6}{7}=\frac{22}{7}=3\frac{1}{7}\]

Если нужно разделить десятичную дробь на число, то действуют аналогично делению двух целых чисел, а запятая ставится сразу после того, как целая часть была разделена на число.

\[22,1:13=1,7\]

При делении одной десятичной дроби на другую необходимо действовать следующим образом: в делимом и делителе переносят запятую вправо на столько знаков, сколько их в делителе после запятой. Затем выполняется обычное деление десятичной дроби на число.

\[36,4:0,065=36400:65=560\]

Быстро выполнить действия над дробями можно с помощью онлайн калькулятора дробей. Наш бесплатный калькулятор позволит сложить дроби любого вида, перемножить, разделить за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести данные обыкновенные, десятичные или смешанные дроби в калькуляторе. Информацию про наш сервис можно посмотреть здесь. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.