Леонард Эйлер швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук, а также физики, астрономии и других. Эйлер — автор более чем 850 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, и математической физике. Он глубоко изучал медицину, химию, ботанику, воздухоплавание, теорию музыки, множество европейских и древних языков. Решение уравнений Эйлера является весьма нетривиальной задачей и требует определенных знаний. Уравнения данного рода имеют средний уровень сложности и изучаются в старших классах школы.
Так же читайте нашу статью "Решить уравнения с помощью обратной матрицы онлайн"
Уравнение Эйлера имеет следующий вид:
\[x^ny^{(n)}+p_{n-1}x^{n-1}y^{n-1}+ \cdots +p_1xy '+p_0y=0 \]
\[P_2, P_2, \cdots ,P_{n-1}\] - постоянные числа.
Благодаря замене \[x = e^t\] данное уравнение преобразуется к уравнению с постоянными коэффициентами:
\[y(x)=y(e^t)=v(t).\]
Получаем:
\[y '(x)= v '(t)dt/dx=v '(t) \cdot e^-t ; xy'(x) =v'(t) \]
\[y''(x)=v''(t)e^{-2t}-v '(t)e^-t ; x^2y'' (x) =v'' (t)-v'(t) \]
Подставив эти значения, мы получим уравнение с постоянными коэффициентами относительно функции \[v(t).\]
Допустим, дано такое уравнение Эйлера:
\[x^2y''+3y '+y=0\]
Решение данного уравнения будем искать в виде \[y =x^k,\] поэтому:
\[y '=kx^{k-1}, y '=k(k-1)x^{k-2}\]
Вставив эти значения производных получим:
\[x^2k(k-1)x^k-2+3kx \cdot x^{k-1}+x^kx^k[k(k-1)+3k+1]=0\]
Соответственно, если \[x \ne 0 k(k-1)+3k+3=0.\] Поскольку \[k = -1\] второй кратности, то\[ y = \frac{1}{x}\] является решением уравнения Эйлера. Другое решение \[y =\frac {(ln x)}{x}\]. В этом можно убедиться, поскольку \[\frac {1}{x}\] и \[ \frac {(ln x)}{x}\] линейно независимые, то:
\[y=\frac {C_1}{x} +\frac {C_2lnx}{x}\]
Это и есть общее решение данного вида уравнения Эйлера.
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.
Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!