Как решить уравнение Бернулли по математике

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. \[y' +a_0(x)y=b(x)y^n\] - данное уравнение дифференциального вида называется уравнением Бернулли.

При условии, что \[n=0\] получается линейное уравнение, если \[n=1\] - с разделяющимися переменными, то предположим, что \[n \ne 0\] и \[n \ne 1.\] Произведем деление левой и правой части уравнения на \[y^n.\]

Так же читайте нашу статью "Решить биквадратное уравнение онлайн решателем"

Получим уравнение следующего вида:

\[\frac{y'}{y^n}+\frac{ a_0(x)}{y^{n-1}}=b(x)\]

Далее произведем следующую подстановку -

\[\frac {1}{y^{n-1}}=z\]

После выполнения данных действий наше выражение будет иметь следующий вид:

\[\frac {z' }{1-n} + a_0(x)z=b(x)\]

Все эти действия помогли нам привести уравнение к линейному виду, которое решить довольно легко:

\[z' + (1-n)a_2(x)z = (1-n)b(x).\]

Пример решения уравнения Бернулли - \[y' + 2xy = 2xy_2\]

Это уравнение Бернулли при \[n=3.\] Разделим 2 части уравнения на \[y_3\] и получим:

\[\frac {y'}{y^3}+\frac{2x}{y^2}=2x\]

Выполним замену \[z=\frac{1}{y^2}: z' = -2\frac{y'}{y^3}\]

Преобразуем полученное уравнение в следующий вид:

\[-z' + 4xz = 4x.\]

Решим полученное уравнение методом вариации произвольной постоянной:

\[z(x)=1+C_1e^{2x^2}\frac{1}{y^2}=1+ C_1e^{2x^2}\]

Чтобы лучше закрепить материал, решайте уравнения в интернете. Если вы хотите проверить свой ответ, то можете бесплатно решить дифференцированное уравнение онлайн с решением на нашем сайте.

Как решать уравнения Бернулли по дифференциальным уравнениям онлайн?

Решить характеристическое уравнение онлайн или уравнение Бернулли вы можете на сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.