Как решить уравнение Бернулли по математике

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. $$y' +a_0(x)y=b(x)y^n$$ - данное уравнение дифференциального вида называется уравнением Бернулли.

При условии, что $$n=0$$ получается линейное уравнение, если $$n=1$$ - с разделяющимися переменными, то предположим, что $$n \ne 0$$ и $$n \ne 1.$$ Произведем деление левой и правой части уравнения на $$y^n.$$

Так же читайте нашу статью "Решить биквадратное уравнение онлайн решателем"

Получим уравнение следующего вида:

$$\frac{y'}{y^n}+\frac{ a_0(x)}{y^{n-1}}=b(x)$$

Далее произведем следующую подстановку -

$$\frac {1}{y^{n-1}}=z$$

После выполнения данных действий наше выражение будет иметь следующий вид:

$$\frac {z' }{1-n} + a_0(x)z=b(x)$$

Все эти действия помогли нам привести уравнение к линейному виду, которое решить довольно легко:

$$z' + (1-n)a_2(x)z = (1-n)b(x).$$

Пример решения уравнения Бернулли - $$y' + 2xy = 2xy_2$$

Это уравнение Бернулли при $$n=3.$$ Разделим 2 части уравнения на $$y_3$$ и получим:

$$\frac {y'}{y^3}+\frac{2x}{y^2}=2x$$

Выполним замену $$z=\frac{1}{y^2}: z' = -2\frac{y'}{y^3}$$

Преобразуем полученное уравнение в следующий вид:

$$-z' + 4xz = 4x.$$

Решим полученное уравнение методом вариации произвольной постоянной:

$$z(x)=1+C_1e^{2x^2}\frac{1}{y^2}=1+ C_1e^{2x^2}$$

Чтобы лучше закрепить материал, решайте уравнения в интернете. Если вы хотите проверить свой ответ, то можете бесплатно решить дифференцированное уравнение онлайн с решением на нашем сайте.

Как решать уравнения Бернулли по дифференциальным уравнениям онлайн?

Решить характеристическое уравнение онлайн или уравнение Бернулли вы можете на сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.