Что такое уравнение Коши

Функциональное уравнение Коши – одноименное уравнение для нахождения переменной функции известного французского ученого Огюстена Луи Коши. Этот великий математик в XIX веке прославился своими многочисленными открытиями в области геометрии, алгебры и математического анализа. Он был крайне трудолюбив и продуктивен, оставил после себя порядка 700 научных трудов. Также Коши удалось решить задачу дифференциальных уравнений. Его имя внесено в список величайших ученых Франции.

Суть уравнения Коши

Функциональное уравнение – это такое уравнение, неизвестным и искомым числом в котором является функция. Между собой функции дифференцируются по качеству, и в зависимости от того или иного функционального свойства видоизменяется и уравнение.

Функции разделяются по классам. Уравнение Коши имеет свой вид решения в каждом:

• f(x+y)=f(x)+f(y) имеет решение f(x)=ax> - в классе непрерывных и монотонных функций;
• f(x+y)=f(x)f(y) имеет решение f(x)=a^x в непрерывных функциях (не считая f(x)=0);
• f(xy)=f(x)f(y) при x,y>0 имеет решение f(x)=x^a - в классе непрерывных функций (не считая f(x)=0);
• f(xy)=f(x)+f(y) имеет решение f(x)=logax в непрерывных функциях (не считая f(x)=0).

Также функциональное уравнение Коши называют аддитивным уравнением, то есть с произвольной функцией.

Значение для мировой науки

По сути, к функциональным уравнениям можно отнести и дифференциальные, и интегральные. Это широкая тема, которую можно долго освещать, и которая тесно перекликается с прочими трудами самого Коши.

Раздел математики об уравнениях – один из самых больших. Несомненно, труды этого французского ученого внесли новшество в решение неравенств и задач. Даже сейчас численные методы вкупе с использованием мощных компьютеров позволяют решить сложные задачи экономического, технического, научного характера. Помимо этого, сделанные им открытия повлияли и на физику как науку, ведь математические модели переносятся на реальные в процессе изучения природных явлений.

К таким моделям можно отнести явление механики сплошной среды, некоторые химические реакции, электромагнитные волны.