Как решить систему уравнений матричным способом

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Матричный метод позволяет находить решения СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений) любой сложности. Весь процесс решения СЛАУ сводится к двум основным действиям:

- определение обратной матрицы на основании главной матрицы:

- умножение полученной обратной матрицы на вектор-столбец решений.

Так же читайте нашу статью "Решить систему уравнений с 3 неизвестными онлайн решателем"

Допустим, дано СЛАУ следующего вида:

\[\left\{\begin{matrix} 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end{matrix}\right.\]

Начнем решение данного уравнения с выписывания матрицы системы:

\[A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\]

Матрица правой части:

\[B = \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \end{pmatrix}\]

Определим обратную матрицу. Найти матрицу 2-го порядка можно следующим образом: 1 - сама матрица должна быть невырожденной; 2 - ее элементы, которые находятся на главной диагонали, меняем местами, а у элементов побочной диагонали выполняем смену знака на противоположный, после чего выполняем деление полученных элементов на определитель матрицы. Получим:

\[A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}\]

Тогда:

\[X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\] \[A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}\cdot\]

\[\begin{pmatrix} 7 \\ 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -11 \\ 31 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -11 \\ 31 \end{pmatrix} \]

2 матрицы считаются равными, если равны их соответствующие элементы. В итоге имеем следующий ответ решения СЛАУ:

\[x_1 = -11, x_2 = 31.\]

Где можно решить систему уравнений матричным методом онлайн?

Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.